Читаю «Лекции по линейной алгебре» Израиля Моисеевича Гельфанда (издание тысяча девятьсот сорок восьмого года, между прочим! Гостехиздат!) и в очередной раз задумываюсь, какое же это всё-таки важное понятие - скалярное произведение векторов. В математике именно с его помощью мы определяем эвклидово пространство, а в физике скалярное произведение векторов даёт нам возможность понять, почему сила - векторная величина, расстояние - тоже векторная, а работа - представляющая собой, как известно любому школьнику, их произведение - почему-то скалярная. Но вот вопрос: как объяснил бы я какому-нибудь беспросветному гуманитарию*, незнакомому с линейной алгеброй, смысл этого важнейшего понятия?
И вот что пришло мне в голову: перед вами всем известная картина Репина «Бурлаки на Волге».
Барка (или что они там тянут) плывёт по Волге, а бурлаки, понятное дело, идут по берегу. В результате между вектором движения барки и вектором силы, прилагаемой бурлаками к барке, образуется некоторый угол. На косинус этого угла и нужно умножить произведение длин обоих векторов, чтобы получить их скалярное произведение. Чем больше этот угол (точнее - чем ближе он к прямому, к пи-пополам), тем труднее бурлакам, потому что косинус угла становится ближе к нулю, а тогда меньше становится и всё произведение, с точки зрения физики имеющее значение работы. Если бурлакам вдруг взбредёт в голову потянуть за свою лямку перпендикулярно движению барки, она вообще никуда не поплывёт; это очевидно, а объясняется именно тем, что косинус угла стал равен нулю.
Кстати: вы когда-нибудь обращали внимание на то, что в правой части картины вдалеке виден пароход? То есть пароходы-то тогда уже существовали, а значит, не такой уж отсталой и дремучей была наша матушка-Россия, как объясняла нам учительница в школе или тётенька-экскурсовод в Третьяковке**, показывая картину великого русского художника Ильи Ефимовича Репина «Бурлаки на Волге».
*Признаться, я и сам таким был ещё совсем недавно.
**Вообще-то в Русском музее.
